\begin{subsection}{Propagación del error para el algoritmo de Gregory}
		Sean $t_0, t_1, t_2$ los primeros tres términos sin signo del algoritmo implementado, es decir:
			$$t_k = \dfrac{4}{2k+1}$$
		Los valores correspondientes a los primeros tres términos de la serie son
			\begin{align*}
				t_0 &= 4 &
				t_1 &= \dfrac{4}{3} &
				t_2 &= \dfrac{4}{5}
			\end{align*}

		El cálculo de los primeros tres términos hecho por el algoritmo es \\ $t_0-t_1+t_2$.
		Para analizar el error relativo de los primeros tres términos calculados por el algoritmo analizamos los siguientes errores:
			\newcommand{\errGregTceroTuno}{\dfrac{t_0 \err{t_0} - t_1 \err{t_1}}{t_0-t_1}+\errresta}
			\newcommand{\errGregTk}[1]{\errdiv^{#1} - \err{2\cdot #1+1}}
			\begin{eqnarray}
				\err{t_k}         &=& \err{4} - \err{2k+1} + \errdiv^k = \errdiv^k -\err{2k+1}  \label{errGregTk} \\
				\err{t_0-t_1}     &=& \errGregTceroTuno \label{errGregT0MenosT1} \\
				\err{Gregory} &=& \abs{\dfrac{ (t_0-t_1) \err{t_0-t_1} + t_2 \err{t_2} }{ t_0-t_1+t_2 } + \errsuma} \label{errGreg3T}
			\end{eqnarray}
		Reemplazando \eqref{errGregT0MenosT1} en \eqref{errGreg3T}:
			\begin{eqnarray*}
				\err{Gregory} &=& \abs{\dfrac{ (t_0-t_1) \left(\errGregTceroTuno\right) + t_2 \err{t_2} }{ t_0-t_1+t_2 } + \errsuma} \\
							  &=& \abs{\dfrac{ t_0 \err{t_0} - t_1 \err{t_1} + (t_0-t_1)\errresta + t_2 \err{t_2}} { t_0-t_1+t_2 } + \errsuma}
			\end{eqnarray*}
		Reemplazando $t_0$, $t_1$, $t_2$ y $\err{t_k}$ en $\err{Gregory}$
			\begin{align*}
				\err{Gregory} &= \abs{\dfrac{(\errdiv^0 -\err{1}) - \frac{1}{3} (\errdiv^1 -\err{3}) + \frac{2}{3}\errresta + \frac{1}{5} (\errdiv^2 -\err{5}) } { \frac{13}{15} } + \errsuma} \\
				              &\leq \abs{\dfrac{15(\errdiv^0 -\err{1}) - 5 (\errdiv^1 -\err{3}) + 10 \errresta + 3 (\errdiv^2 -\err{5}) } {13} } + \abs{\errsuma} \\
				              &\leq \dfrac{\abs{15(\errdiv^0 -\err{1})} + \abs{5 (\errdiv^1 -\err{3})} + \abs{10 \errresta} + \abs{3 (\errdiv^2 -\err{5}) }} {13} + \abs{\errsuma} \\
				              &\leq \dfrac{15(\abs{\errdiv^0}+\abs{\err{1}}) + 5 (\abs{\errdiv^1}+\abs{\err{3}}) + 10\abs{\errresta} + 3(\abs{\errdiv^2} +\abs{\err{5}}) } {13} + \abs{\errsuma}
			\end{align*}
		Acotando los errores de representación y operaciones:
			\begin{align*}
				\err{Gregory} &\leq \dfrac{15\times\erep + 5 (\erep+\erep) + 10 \times \erep + 3(\erep + \erep) } {13} + \erep \\
				              &\leq \dfrac{15\times\erep + 10 \times \erep + 10 \times \erep + 6 \times \erep } {13} + \erep \\
							  &\leq \dfrac{41\times\erep}{13}+\erep = \dfrac{54}{13}\times\erep
			\end{align*}
		Por lo tanto, la cota teórica para los primeros tres términos del algoritmo de Gregory es
			$$\boxed{\err{Gregory} \leq \dfrac{54}{13}\times\erep}$$

\end{subsection}
